整型数值的二进制表达方式

众所周知，对 0 取反是 -1，对 -1 取反是 0；即 0 和 -1 互为反码。
那么，为什么呢？因为「在计算机中，负数以其正值的补码形式表达」。

初步认识#

原码#

举个例子，假设这里有一个 int32 的 1，用二进制形式（0/1 数据流）表示：

00000000 00000000 00000000 00000001

这叫做「原码」。

反码#

对其 按位取反（~），得到：

11111111 11111111 11111111 11111110

这叫做「反码」。注意反码和原码是相互一一对应的，我们称之为「互为反码」。

补码#

将反码 + 1，得到：

11111111 11111111 11111111 11111111

这叫做「补码」。正如一开始所说的：1 的补码就是 -1（在计算机内部的表达形式）。

回收 flag#

那这里的「-1」（1 的 补码）按位取反是什么呢？

00000000 00000000 00000000 00000000

也就是 0。正如第二步所说的：0 和 -1 互为反码。

进一步深入#

如果 0 的反码是 -1，那 0 的补码又是什么？
这就要引入一个（我之前故意忽略的）新概念了：符号位。

无符号位#

众所周知，计算机运行的本质是输入输出（I/O）和操作 0 / 1 的二进制数据流。
大到 3D 游戏，小到一个小小的十进制数，在计算机眼里都是一样的 0 / 1。

所以 4 字节（Byte） = 4 × 8 位（bit） 的 int32 共占 32 bit。（这也是 32 位系统默认的 整型（整数类型））
理论上可以表示高达 $ 2^{32} - 1 = 4294967295 $ 的正整数，那负数怎么办？

注意这里说的「正整数」包括 0——确切地说，是正零（+ 0）。

有符号位#

好办，我们把最高位当作「符号位」就行了：0 代表正数、1 代表负数。

所以同样是 int32，unsigned 可以表达 0 ~ 4294967295。
而 signed 直接砍一半（正整数），表达 -2147483648 ~ 2147483647（没有写错，负数就是大 1）。

$$ 2^{32-1} - 1 = 2147483647 $$

计算机内部（真实）的二进制表达#

从下往上看（建议先从 + 0 开始），数值逐渐递增：

用一个字节（Byte）来打比方：
有符号位其实是把 [0, 255] 对半砍成 [0, 127] 和 [128, 255]；
然后用 [128, 255] 来表示 [-128, -1]（以补码形式）。

或者说「负数的表达方式（[128, 255]）」就是它（[-128, -1]）绝对值的补数。
什么补数？补到「模」的补数，模就是你永远无法达到的上限（与标准），此处指 256。
再举个例子，时钟的模就是 12：

• 你把 3 点的时针正拨 6，是 9 点
• 你把 3 点的时针倒拨 6，还是 9 点

如果实在捋不清楚，可以这样理解：其实正负两边都是一样的——

• +0 以及 +1 ~ +2147483647
• -0 以及 -1 ~ -2147483647

但是 0 不需要两个，所以 -0 依据符号位拿去当作 -2147483648 用了。

有必要搞的这么麻烦吗？当然是有必要才会这么搞啦。
这样设计的目的是为了将减法转换为加法（减去 1 等于加上 -1）。
如此一来，就把 十进制的加法 完全转换成了 二进制的加法。
更多细节可以自行了解「CPU 减法器」的实现原理。

回收 flag#

正零 + 0

原码：

00000000 00000000 00000000 00000000

反码：（正数的反码是其本身）

00000000 00000000 00000000 00000000

补码：（正数的补码也是其本身）

00000000 00000000 00000000 00000000

负零 - 0

原码：

10000000 00000000 00000000 00000000

反码：（负数的反码，符号位不变，其他位取反）

11111111 11111111 11111111 11111111

补码：（负数的补码，反码 + 1，超出上限的进位舍弃）

00000000 00000000 00000000 00000000

说到底，原码和反码是为了人类理解「补码」生造的概念。
知道有这么一茬就行了，不必强行记忆，硬背下来除了搞混脑子也没什么卵用。
计算机的事，不交给计算机自己解决，那造它干嘛？